منهجية التعامل مع المسائل الرياضياتية   في المدرسة الابتدائية 

تشكل المسائل الرياضياتية شبحا مخيفا بالنسبة للتلميذ والأستاذ على حد سواء، إذ يفسر سبب خوف الأول بعجزه أمام حلها أما الثاني فقد تنهك قواه النتيجة الضعيفة التي يحصل عليها تلاميذه والتي بدورها تعكس عمله وجهوده الدائمة، من هنا تعتبر المسائل الرياضياتية من أهم المواضيع التي شغلت بال  العاملين في الحقل التربوي وبالأخص في مجال الرياضيات والمهتمين بها وبطرائق تدريسها.

ولعل عجز التلاميذ أمام حل المسائل الرياضياتية هو أحد الأسباب التي تجعلنا نخوض غمار هذه الدراسة وهذا الموضوع تحديدا.فما الأسباب الحقيقية وراء ضعف التلاميذ في معالجة المسائل الرياضياتية ؟ وما الاستراتيجيات المنهجية لتحسين مستواهم في هذا الشأن؟

1 ـ تعريف المسألة الرياضية

1 ـ 1 المسألة أو المشكلة بصفة عامة هي:

: ” موقف يحتاج إلى المعالجة والتحفيز، أو خبرة تبعث على الحيرة والإرتباك، تواجه الفرد وتتطلب منه اتخاذ القرار أو بناء خطة للحل “ أورمرود

أو هي: ” عملية يسعي الفرد من خلالها إلى تخطي العوائق التي تواجهه أثناء محاولته البحث عن الحل أو سعيه لتحقيق الهدف“ستينبرغ

1 ـ 2 المسألة الرياضية هي :

 ” وضعية تواجه المتعلم ، وتحتم عليه التفكير من أجل وضع خطة منهجية يوظف فيها مكتسباته ومهاراته الحسابية للوصول إلى الحل بأقل جهد وأسرع وقت ممكن“

1 ـ 3 الفرق بين التمارين الرياضية والمسائل :

حسب فريد أبو زينة  :

الفرق الرئيس بين التمارين والمسائل الرياضية يكمن في الغاية المرجوة من وراء كل منهما، حيث :

إن التمارين الرياضية تعالج العمليات الحسابية الأساسية وتستهدف تعليم مفاهيم رياضية ، وتطبيق مبادئ وتعميمات معينة،

أما المسائل الرياضية فغايتها تعليم مبادئ التعلم التي تتعلق بحل المشكلات.

وعليه فإن حل المسألة الرياضية لا يقتصر على مجرد استرجاع قواعد وقوانين وتطبيقها ، وإنما يستدعي أيضا فهم مضمونها والتفكير في وضع خطة منهجية للوصول إلى الحل.

وبالتالي:  فالنشاط العقلي الفكري للمتعلم يبرز أكثر من خلال المسألة الرياضية أكثر منه في التمارين، لأن هذه الأخير ما هي إلا تطبيق مباشر لمكتسبات الدروس المقدمة  وتدريب على مهاراتها الجديدة.

وإذا كانت أغلب الكتب المدرسية تقدم العمليات الحسابية أولا ثم المسائل الرياضية ثانيا، فإن كامي ـ أستاذة تربية في إحدى الجامعات الأمريكية ـ تقترح طريقة معاكسة لهذا الترتيب، وتقترح تقديم المسائل الرياضية اللفظية أولا دون إخبارالتلاميذ بكيفية حلها. وترى بأن ذلك يفيد في تشجيعهم على اكتشاف طرائقهم الخاصة في الحصول على الجواب شريطة أن ترتبط هذه المسائل بالحياة اليومية للتلاميذ .

2 ـ أهمية حل المسائل الرياضياتية:

ü    لا شك أن المشكلات أو المسائل الرياضية تطرح نفسها على الفرد يوميا ، وهنا لا يكفي استدعاء المعرفة المخزنة في الذهن أو الذاكرة للوصول إلى الحل  ، وإنما تحتاج إلى التفكير في كيفية تطبيقها في المكان والزمان المناسبين للوصول إلى الحل ،ومن هنا يظهر التفكير كأداة أو وسيلة يستخدمها الفرد في فك غموض المسائل وحلها.

ü    المسائل الرياضية تجعل المفاهيم والقواعد الرياضية ذات معنى وهي في الوقت نفسه وسيلة مساعدة على التدريب على المهارات الحسابية.

ü    حل المسائل الرياضية  يساعد التلميذ على ممارسة حياته الاجتماعية في تعاملاته مع الآخرين، خاصة في الميدان الذي يتطلب الحساب والتفكير ،نذكر على سبيل المثال المعاملات الشرائية اليومية.

ü    المسائل الرياضية تمكن المتعلم من مهارة حل المشكلات ليس فقط تلك التي تواجهه في الرياضيات، بل في ميادين المعرفة الأخرى وفي الحياة بشكل عام.

ü    المسائل الرياضية تنمي قدرة المتعلم على التعامل مع المسائل باعتبارها سياق لتعلم المهارات والمفاهيم الرياضية.

ü    المسائل الرياضية تنمي قدرته على صياغة مسائل انطلاقا من وضعيات رياضية أو واقعية مألوفة أو غير مألوفة والتعبير عنها بنماذج رياضية؛

ü    المسائل الرياضية تكسبه استراتيجيات متنوعة لحل المسائل وتطبيقها؛

ü    المسائل الرياضية تنمي قدرته على تطبيق وتعميم وتطويع الحلول والاستراتيجيات حسب اختلاف  المسائل الجديدة؛

3 ـ أهم المتغيرات البنائية للمسائل الرياضياتية:

لعل أهم المتغيرات البنائية للمسائل الرياضياتية نسوقها على التوالي:

1.   طول المسألة ودرجة صعوبة الألفاظ والمفردات اللغوية فيها

2.   رسم المسألة( التخطيط للمسألة): (مسألة مرسومة ، مسألة غير مرسومة)

3.   موقع المطلوب من المسألة :( في بداية المسألة ، في آخر المسألة)

4.   نوع العمليات الحسابية ونوع الأعداد في المسألة :( أعداد صحيحة، أعداد كسرية)

5.   احتواء المسألة على معلومات زائدة لا علاقة لها بالحل (ويقصد به وجود معلومات عددية زائدة لا تستخدم في حل المسألة)(تحتوي ،لا تحتوي)

6.   عدد خطوات حل المسألة: ويقصد بها عدد العمليات اللازمة لحل المسألة.

7.   ترتيب وضع معلومات المسألة (التتابع) ويقصد به توافق ترتيب المعلومات العددية الوارد في المسألة مع ترتيب العمليات في الحل كأن يأتي المطروح قبل المطروح منه والعكس.

4 ـ أسباب ضعف التلاميذ في التعامل مع المسائل الرياضياتية:

هناك عدة أسباب وراء ضعف التلاميذ في التعامل مع المسائل الرياضياتية سنقف عند أهمها بشيء من التفصيل.

ü    عدم التمكن من مهارة القراءة ، بالإضافة إلى ضعف حصيلة المفردات اللغوية لدى التلميذ، فعملية القراءة ليست بالأمر السهل ، فهي تستدعي الكثير من المهارات وتتطلب فهما دقيقا لعبارات المسألة ومصطلحاتها حتى يتسنى له فهمها  وإعداد خطة لحلها، أي بصيغة أخرى معرفة المصطلحات الرياضية والحسابية الضرورية لفهم المسألة.

ü    الإخفاق في استيعاب المشكلة وعدم القدرة على تمييز الحقائق الكمية والعلاقات المتضمنة فيها (تفسير المشكلة)

ü    الصعوبة في اختيار الخطوات التي ستتبع في حلها وضعف خطة معالجتها وعدم تنظيمها.

ü    عدم التمكن من المفاهيم ومهارات العمليات الحسابية الأساسية.

ü    ضعف القدرة على التفكير الاستدلالي والتسلسل في خطوات الحل.

ü    ضعف قدرة التلاميذ على التخمين والتقدير

ü    التسرع في تقديم الحل بحيث إن التلميذ يهمل الكثير من العناصر بصورة مقصودة أو غير مقصودة وتراه ينطلق في الحل دون أن يطرح على نفسه السؤال علام أبحث؟ ولإيجاد ذلك ماذا علي أن أفعل ؟

فهناك من يكتفي بإجراء عمليات حسابية يعرفها بين الحقائق الكمية المقترحة دون أدنى تفكير وإن لم تكن لها أية علاقة مع الحل الصحيح.

5 ـ الخطوات المنهجية لحل المسائل الرياضة :

   يعد جورج بوليا من الرواد في مجال حل المسائل وتعتبر استراتيجيته في حل المسائل من أكثر الاستراتيجيات قبولا في الرياضيات،فقد اقترح في كتابه  How to Solve it أربع خطوات منهجية لحل المسألة الرياضياتية وهي :

أولا: فهم المشكلة

يعتبر الفهم أهم خطوة في حل أي مسألة على اعتبار:“أن فهم السؤال نصف الإجابة“، ولذلك لابد أن تكون المسألة على درجة كبيرة  من الوضوح ،  ولا شك أن فهم المسألة يتوقف على فهم عباراتها ومصطلحاتها الشيء الذي يستدعي  إعادة صياغة المسألة من طرف التلميذ بلغته و بأسلوبه الخاص أو ترجمتها وتمثيلها تخطيطيا، وهو ما يساعد على جلاء ووضوح العلاقات بين التفاصيل وقد يفيد المخطط في الوصول إلى الحل بسرعة.

يعتمد التلميذ في عملية الفهم على عناصر المسألة الرئيسية والمتمثلة في :

( المعطيات – المطلوب – الشروط)

و بناء عليه يمكن للأستاذ مساعدة المتعلم  بأسئلة من قبيل:

1.   ما هو المطلوب ؟

2.   ما هي المعطيات ؟

3.   أرسم شكلا ؟

4.   استعمل رموزا مناسبة؟

5.   هل يمكنك إيجاد علاقة بين المطلوب والمعطيات ؟

ثانيا : وضع خطة الحل

يتعلق وضع الخطة باختيار فكرة الحل ، وعلى الأستاذ أن يساعد التلاميذ من خلال عرض بعض الأسئلة التي تقودهم إلى الحل من قبيل:

هل رأيت مشكلة مماثلة لهذه المشكلة من قبل؟

هل رأيت المشكلة نفسها في صيغة مختلفة؟

هل يمكنك تبسيط المشكلة الحالية؟

 هل يمكنك أن تفكر في مشكلة مألوفة لها نفس الحل؟

هل تحتاج لرسم توضيحي؟

هل يمكنك تنظيم بيانات المشكلة بشكل أسهل؟

هل استعملت كل المعطيات ؟

هل تعرف طريقة توصلك للحل؟

ثالثا: تنفيذ خطة الحل   

تعتمد هذه المرحلة على إدراك التلميذ لخطة الحل إدراكا صحيحا ، وإلا تملكه اليأس وعدم القدرة على الاستمرار في الحل.

 عند تنفيذ خطة الحل لا بد للتلميذ من:

ü    التأكد من كل خطوة ليستطيع أن يبرهن على أﻧﻬا صحيحة.

ü    أن يراعي كل الشروط .

ü    أن يستخدم في الحل كل المعطيات.

رابعا: التحقق أو(النظر إلى الخلف) [1]

يقوم التلميذ في هذه المرحلة بالتحقق من صحة الحل وذلك بالسير بخطوات عكسية للحل أو من خلال التعويض ، ويمكن للأستاذ مساعدته بالأسئلة التالية:

هل يمكنك التحقق من النتيجة ؟

هل الحل يحقق كل شروط المشكلة ؟

هل هناك حلول أخرى ؟

هل يمكنك استخدام نفس الطريقة لحل مشكلات أخرى مشابهة؟

هل توصلت لصيغة عامة يمكن تطبيقها في مواقف أكثر عمومية؟

6 ـ معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضياتية

لا شك أن  معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضياتية من شأنها أن تمكن الأستاذ من تقييم تلميذه ،وبصيغة أخرى معرفة مدى تحكمه في حل المسألة الرياضياتية؟ ولعل أهم معايير تقييم التحكم في حل المسألة الرياضية هي:

ü    التفسير السليم للوضعية:  ويقصد به أن يبين التلميذ أنه فهم المشكل كأن يختار الأعداد المفيدة من نص المشكل ويختار العمليات المناسبة؛

ü    الاستعمال السليم للأدوات في الوضعية : والمقصود بها هو انجاز صحيح للعمليات أي الحساب؛

ü    انسجام الإجابة: ويعني الجواب عن السؤال بجملة، اختيار الوحدة المناسبة كالدينار ،الغرام ، المتر……الخ ؛

ü    معقولية النتائج.

7 ـ نماذج من التطبيقات

لا بد من الإشارة ابتداء إلى أن أغلب الكتب المدرسية والأساتذة تبعا لها يركزون على التدريس بواسطة حل المسائل الرياضياتية دون الوقوف عند الاستراتيجيات المنهجية للتعامل مع هذه المسائل الرياضياتية ، لذا أقترح بعض النماذج لإبراز أهمية الجانب المنهجي.

7 ـ 1 فهم نص المسألة و تصنيف معطياته إلى:( أساسية ، زائدة ، ناقصة )

الهدف من هذا النشاط هو حمل المتعلمين على قراءة  نص المسألة قراءة متمعنة؛ مع تمييز المعطيات الأساسية اللازمة للإجابة عن السؤال أو الأسئلة المطروحة ،والمعطيات الزائدة التي يمكن الاستغناء عنها؛ والتأكد من عدم وجود معطيات ناقصة.

أمثلة:

أ ـ مسألة ذات معطى زائد

قال علي:“ سني 12 سنة و سن أختي 8 سنوات، بعد 14 سنة سيصبح سن أبي ضعف سني.

احسب سن والد علي.

q   اقرأ المسألة بإمعان ،ثم أعد كتابته بعد التخلص من كل المعلومات الزائدة ( التي لن تفيدك في حساب المطلوب)

q   حدد المعلومات الأساسية (اللازمة لحل المسألة)

ب ـ مسألة ذات معطى ناقص

اشترت عائشة هلالية بثمن 3دراهم ، و قطعة حلوى كتلتها 70 غرام ن وأعطت للحلواني ورقة مالية من فئة 100 درهم.كم رد عليها ؟

1)   أحط المعطيين الأساسين في النص.

2)   هل تكفي كل المعلومات الواردة في النص لحل المسألة؟

3)   إذا كان الجواب بالنفي فما هو المعطى الناقص؟

7 ـ 2 اتمام نص مسألة بكتابة السؤال أو الأسئلة المناسبة

دخل أب إلى محل لبيع الأجهزة المنزلية واشترى غسالة. دفع مبلغ 1200 درهم عند تسلمها، و الباقي على شكل 9 أقساط قيمة كل منها 450 درهما.

اقرأ النص جيدا ثم اكتب سؤالين مناسبين.

7      ـ 3 تحديد العمليات التي يتطلبها الحل

الهدف من هذا النشاط هو تدريب المتعلم على استكشاف نوع العملية التي يتطلبها الحل (جمع ، طرح ،ضرب ، قسمة)

أ ـ مثال الجمع:

ب ـ مثال الطرح:

ج ـ مثال الضرب :

د ـ مثال القسمة:

7 ـ4 التخطيط للمسألةالرياضياتية

الهدف من هذا النشاط هو حمل المتعلمين على الاستعانة برسومات وتخطيطات مع تنظيم المعطيات لتيسير الوصول إلى الحل.

مثال:

عمر ورشيد من هواة جمع الطوابع ، قال عمر:نملك 333 طابعا بريديا ، وقال رشيد : لقد ساهمت بضعف ما ساهمت به من الطوابع.

احسب عدد الطوابع التي ساهم بها عمر.

احسب عدد الطوابع التي ساهم بها رشيد.

لمساعدتك على حل المسألة :

أ ـ ارسم قطعة مستقيمة لتمثيل عدد الطوابع التي ساهم بها عمر.

ب ـ ارسم قطعة مستقيمة لتمثيل عدد الطوابع التي ساهم بها رشيد.

عند التمثيل انتبه إلى أن ما ساهم به رشيد هو ضعف ما ساهم به عمر من الطوابع .

استعن بالتمثيل الذي رسمت لحساب ما يلي:

حصة رشيد:

حصة عمر:      

عدد الطوابع التي ساهم بها عمر: 333÷ 3 = 111

عدد الطوابع التي ساهم بها رشيد:111 × 2 = 222

7 ـ 5 حل المسألة الرياضياتية بطرائق متعددة :

هذا النشاط يساعد المتعلمين على استعمال مختلف الطرائق للوصول إلى الحل مع تبرير إجاباتهم.

مثال: وزع مدرس تلاميذ فصلها البالغ عددهم 38 تلميذا إلى فرق رياضية من 9 تلاميذ، بينما يقوم الباقون منهم بالتحكيم .

ما عدد الفرق الرياضية التي شكلها المدرس ؟ وما عدد الحكام؟

   عرض ثلاثة تلاميذ طرائق الحل  التالية:

طريقة التلميذ الأول:

                               2   +    9    +     9     +   9        +   9

طريقة التلميذ الثاني:

الفرقة الأولى:                                 38 _ 9 = 29

الفرقة الثانية:                                            29 _ 9 =20

الفرقة الثالثة:                                _ 9 = 11  20

الفرقة الرابعة:                          _  9  = 2  11

عدد الفرق : 4

عدد الحكام : 2

طريقة التلميذ الثالث:

1× 9 =9

2×9=18

3×9 = 27

4×9=36

عدد الفرق : 4

عدد الحكام:2

توجيهات و توصيات

ü    التدرج في اقتراح المسائل الرياضية انطلاقا من البسيطة إلى المعقدة تبعا للنمو العقلي للتلميذ وتطور تفكيره وتماشيا مع انتقاله من مستوى إلى آخر، وذلك مع تنويع المسائل بتنوع المواقف الحياتية التي يعيشها الفرد (على مستوى البيع والشراء والزمن والتنقلات أو القياس أو الهندسة ………الخ) ؛

ü    حمل المتعلمين على الالتزام بالخطوات الأربع لحل المسألة (افهم- خطط – حل – تحقق) مما يساعدهم على تحديد أهدافهم وتنظيم أفكارهم والتعوّد على الكتابة الرياضية ،

ü    حمل المتعلمين على قراءة المسألة قراءة جيدة وبصوت مرتفع ، ومساعدتهم  على إعادة صياغتها بلغتهم ليتمكنوا من تحديد المعطيات والمطلوب والشروط ؛

ü    التركيز على معرفة الصعوبات التي يواجهها التلاميذ عند التخطيط للحل أو عند تنفيذه (صعوبات لُغوية أو رياضية ) ، والعمل على معالجتها ؛

ü    تدريبهم على مناقشة مضمون المسألة وتبادل الأفكار؛

ü    الحذر في طرح الأسئلة والتوجيهات طوال مراحل الحل ، فلا تقدم تلميحات مباشرة تحيل التلاميذ على الحل مباشرة ، ولكن لا بد من أخذ اقتراحات الحل من التلاميذ أنفسهم ؛

ü    مراعاة اختلاف قدرات التلاميذ، واحترام ايقاع  كل تلميذ.

ü    إتاحة الفرصة للتلاميذ للتفكير وطرح الأفكار المتعددة لاختيار استراتيجية(أومهارة) الحل وعدم تحديد ذلك من قِبل المعلم (ة)مباشرة

ü    حمل التلاميذ وتدريبهم على تجربة مختلف الطرائق، بعيدا عن التفكير الآلي التقليدي، وإتاحة الفرصة لتدوين جميع الحلول الممكنة للمسألة، وخاصة الحلول التي توصلوا إليها بأنفسهم

ü    لابد من التركيز على تفسير الحل(الإجابة) والتأكيد على منهجية وطريقة الوصول إلى الحل وكيفية استخدامها مع تدريبهم على مختلف استراتيجيات/مهارات حل المسأئل.